Дифференциальные уравнения математической физики

Задача Коши на страницах:
Задача Коши для уравнения – решение.
Решение задачи Коши. Пример.
Начальные и краевые условия. Задача Коши.

А. А. Гусак. Высшая математика. Том 2.
Глава 27. Простейшие дифференциальные уравнения математической физики

В этой главе рассматриваются некоторые уравнения математической физики, т.е. уравнения с частными производными второго порядка, к которым приводят следующие задачи: задача о колебаниях струны, задача о распространении тепла и др.

27.1. Вывод уравнения колебаний струны

Рассмотрим туго натянутую струну, закрепленную на концах. Выведем струну из положения равновесия (оттянув ее или ударив по ней), струна начнет колебаться.

Предположим, что любая точка струны колеблется по прямой, перпендикулярной к исходному положению струны, и струна все время находится в одной и той же плоскости.

график уравнения колебаний струны
Рис. 27.1

Выберем в этой плоскости декартову прямоугольную систему координат Охu. В качестве оси Ох возьмем прямую, на которой находилась струна в положении равновесия, за ось Оu примем прямую, проходящую через левый конец струны и перпендикулярно к оси Ох (рис. 27.1).

Отклонение струны от положения равновесия обозначим через u; очевидно, u зависит от абсциссы х точки струны и времени t, т.е. u = u(х, t).

При фиксированном t графиком функции u = u(х, t) в плоскости Охu является форма струны в данный момент времени t. Угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой х равен частной производной по х от функции u(х, t) т.е.

(27.1)

уравнение колебаний струны

где α = α(x, t) – угол наклона касательной.

Чтобы составить представление о колебаниях струны, необходимо начертить ряд графиков функции u = u(х, t) при различных значениях t.

При фиксированном значении х функция u = u(х, t) определяет закон движения точки с абсциссой х. Эта точка движется по прямой, параллельной оси Оu. Скорость и ускорение указанного движения выражаются соответственно формулами

(27.2)

закон движения точки с абсциссой

Будем изучать малые колебания струны, т.е. такие, при которых угол α = α(x, t) (угол наклона касательной к графику функции u = u(х, t) при каждом фиксированном значении t) настолько мал, что его квадратом можно пренебречь, т.е. приближенно считать

(27.3)

α² = 0

Поскольку

малые колебания струны

то отсюда следует, что

(27.4)

sin α = α, cos α = 1.

Далее, так как

tg α – sin α = tg α(1 – cos α) = tg α · 0 = 0,

то

(27.5)

tg α = sin α

Принимая во внимание (27.3) – (27.5), заключаем, что

(27.6)

tg² α = 0, или формула колебаний струны

Следовательно, длина дуги струны, ограниченной точками M1(x1, u1), M2(x2, u2) выразится формулой

(27.7)

длина дуги струны, ограниченной точками

Соотношение (27.7) означает, что длина любого участка струны остается постоянной.

длина любого участка струны
Рис. 27.2

Будем предполагать струну абсолютно гибкой, что означает следующее: если удалить участки ОМ1, M2L (см. рис. 27.1), то их действия на участок М1М2 заменяются соответственно действием сил натяжения T1 и Т2, направленных по касательным к графику функции u = u(х, t) в точках М1 и М2 (рис. 27.2). Поскольку по предположению точки струны движутся по прямым, параллельным оси Оu, то сумма проекций сил T1, Т2 на ось Ох равна нулю. Проектируя эти силы на ось Ох, получаем T2сos α2T1cos α1 = 0, где T1, Т2 – величины сил T1, Т2.

На основании второго из равенств (27.4) заключаем, что T1 = T2 т.е. величина силы натяжения остается постоянной. Обозначая ее через T, получаем

(27.8)

T = T1 = T2.

Проектируя силы T1, Т2 на ось Оu, находим

T2 sin α2T1sin α1 = T(sin α2sin α1) = T(tg α2tg α1).

С учетом равенства (27.1) получаем

T(tg α2tg α1) = T[u'x(x + Δx,t) – u'x(x, t)]

где х – абсцисса точки М1; х + Δх – абсцисса точки М2.

Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении дифференцируемой функции, находим, что

Теорема Лагранжа о конечном приращении

поэтому проекция сил натяжения T1 и Т2 на ось Ох выразится формулой

(27.9)

Теорема Лагранжа о приращении

Предположим, что на струну действуют также внешние силы, параллельные оси Оu, плотность распределения* которых равна g(x, t), тогда величина равнодействующей этих сил, приложенных к участку М1М2, приближенно равна g(x, t)Δx. Силами сопротивления внешней среды пренебрегаем.

* Под плотностью понимают предел средней плотности распределения сил на данном отрезке, когда длина отрезка стремится к нулю; средняя плотность – отношение величины равнодействующей сил к длине отрезка, на котором они приложены.

Будем считать струну однородной, обозначим через ρ ее линейную плотность, тогда масса участка М1М2 выразится так: ρМ1М2 = ρΔх, m = ρΔх

В соответствии со вторым законом Ньютона mw = F (произведение массы на ускорение равно действующей силе) получаем

В соответствии со вторым законом Ньютона

или

(27.10)

уравнение вынужденных колебаний струны

где

(27.11)

равно действующей силе

Уравнение (27.10) называется уравнением колебаний струны, или одномерным волновым уравнением.

Если g(x, t) = 0 (внешние силы отсутствуют), то уравнение (27.10) принимает вид

(27.12)

уравнением свободных колебаний

Уравнение (27.12) называется уравнением свободных колебаний, уравнение (27.10) — уравнением вынужденных колебаний струны.

27.2. Начальные и краевые условия. Задача Коши

Чтобы из множества решений уравнения с частными производными второго порядка выбрать определенное решение, необходимо задать дополнительные условия.

Так, в случае уравнения (27.10) или (27.12) нужно указать отклонение и скорость движения в начальный момент времени t0 (будем полагать t0 = 0), т.е.

(27.13)

начальные условия задачи Коши

где f(x), F(x) – заданные функции, а также зафиксировать отклонения концов струны. Поскольку концы закреплены, то

(27.14)

краевые или граничные условия Коши

где l – длина струны.

Условия (27.13) называются начальными условиями, а условия (27.14) – краевыми (или граничными) условиями.

Итак, задача о свободных колебаниях струны ставится следующим образом. Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения с частными производными второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям u(х, 0) = f(x), u'(х,0) = F(x) и краевым условиям u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

Функции f(х) и F(x) определены на отрезке [0, l], из краевых условий следует, что f(0) = 0, f(l) = 0. Можно доказать, что при некоторых предположениях относительно функций f(x) и F(x) поставленная задача имеет единственное решение.

В случае, когда предполагается, что струна является неограниченной, граничные условия не налагаются.

Задача о свободных колебаниях неограниченной струны ставится так. Найти решение u = u(х, t) уравнения с частными производными второго порядка уравнения с частными производными, удовлетворяющее начальным условиям

начальные условия уравнения

где f(x) и F(x) – заданные функции, определенные на всей действительной оси. Эта задача называется задачей Коши.

27.3. Задача о свободных колебаниях бесконечной струны. Метод Д'Аламбера

Как уже отмечалось, задача о свободных колебаниях бесконечной струны, или задача Коши, состоит в следующем.

Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения

(27.15)

линейное однородное уравнение

удовлетворяющее начальным условиям

(27.16)

задача Коши

где f(х), F(x) – заданные функции, определенные в бесконечном промежутке (-∞, +∞).

Уравнение (27.15) перепишем так: уравнение задачи Коши и (положив t = у) сравним его с уравнением (26.9). Поскольку В² - АС = а² > 0, то уравнение является уравнением гиперболического типа.

Уравнение характеристик Ady² - 2Bdxdy + Cdx² = 0 принимает вид a²dt² - dx² = 0 или dx² - a²dta² = 0. Оно распадается на два уравнения dx – adt = 0, dx + adt = 0, откуда получаем х – at = С1, х + at – С1.

Введя новые переменные ξ и η по формулам

(27.17)

ξ = x – at, η = x + at

преобразуем уравнение (27.15) к каноническому виду.

Выражаем частные производные по переменным х, t через частные производные по ξ, η:

частные производные по переменным

Подставляя в уравнение (27.15) выражения для частных производных второго порядка, получаем Подставляя в уравнение

Проинтегрируем последнее уравнение. Положим уравнение Коши тогда Решение дифференциального уравнения

Следовательно, произвольные дважды дифференцируемые функции, или u = φ(ξ) + ψ(η), где φ(ξ), ψ(η) – произвольные дважды дифференцируемые функции своих аргументов. Принимая во внимание (27.17), последнюю формулу можно записать так:

(27.18)

u = ξ(x – at) + η(x + at)

Формула (27.18) определяет общее решение уравнения (27.15).

Среди всех этих решений найдем то, которое удовлетворяет условиям (27.16), Для функции (27.18) и ее частной производной по t

общее решение уравнения

условия (27.16) принимают вид

(27.19)

φ(x) + ψ(x) = f(x), a[ψ'(x) – φ'(x)] = F(x)

Второе равенство проинтегрируем по отрезку [0, х]. Обозначив переменную интегрирования через z получим

Обозначив переменную интегрирования

где С = φ(0) + ψ(0)

Итак,

Второе равенство проинтегрируем

откуда

проинтегрируем по отрезку

Это уравнение и первое из уравнений (27.19) позволяют определить функции φ(x) и ψ(x):

уравнения позволяют определить функции

Подставляя в эти формулы вместо х соответственно х – at и х + at, получаем

Формула Д'Аламбера

В соответствии сформулой (27.18) находим

Формула представляет решение Д'Аламбера

или

(27.20)

решение Д'Аламбера

Формула (27.20) представляет решение Д'Аламбера рассматриваемой задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Читателю предлагается непосредственной проверкой убедиться в том, что функция (27.20) удовлетворяет уравнению (27.15) и условиям (27.16).

А. А. Гусак. Высшая математика. Том 2. Стр. 247-253.

Задача Коши на страницах:
Задача Коши для уравнения – решение.
Решение задачи Коши. Пример.
Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.