Задача Коши на страницах:
Решение задачи Коши. Пример.
Дифференциальные уравнения I порядка. Теорема Коши.
Начальные и краевые условия. Задача Коши.

Задача Коши для уравнения – решение

О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова. Решебник. Высшая математика. Стр. 257-262

11.4. Линейные уравнения 1-го порядка

Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения

(1)

у' + р(х)у = q(x)

с начальным условием

(1')

y(х0) = y0

План решения.

1-й способ.

1. Запишем соответствующее однородное линейное уравнение:

(2)

y' + p(х)у = 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (2)

(3)

решение однородного уравнения

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (3), считая С неизвестной функцией x, т.е. полагая С = С(x);

б) подставляем в уравнение (1) у и y', определяемые из соотношения (3), где С = С(х). Из полученного дифференциального уравнения определяем функцию С(х).

4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) получаем в виде

(3')

общее решение уравнения

Здесь С(х) содержит произвольную постоянную С0.

5. Используя начальные условия (1'), находим значение С0 и получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у = φ(х).

2-й способ.

1. Ищем решение уравнения (1) в виде

(4)

у = u(x)v(x),

где u и v – неизвестные функции х.

2. Уравнение (1) принимает вид

(5)

u'v + uv + p(x)uv = q(x).

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.

Пусть одна из функций (например, u(х)) удовлетворяет уравнению

(6)

u' + р(х)u = 0.

Тогда уравнение (5) примет вид

(7)

v'u = q(x).

Решая уравнение (6) (с разделяющимися переменными), находим u, не равное тождественно нулю, чтобы не сужать множество решений у.

4. Подставляем u(х) в уравнение (7) и решаем его относительно v.

5. Записываем общее решение уравнения в виде у(х) = u(x)v(x).

6. Используя начальные условия (1'), получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у = φ(х).

Пример. Найти решение задачи Коши для уравнения

(8)

решение задачи Коши

с начальным условием

y(1) = 1

Решение

1-й способ.

1. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:

однородное линейное уравнение

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения

у = Сх.

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (8) в виде

у = С(х)х,

где С(х) – неизвестная функция х;

б) подставляя в уравнение (8)

у = С(х)х и у' = С'(х)х + С(х),

получаем дифференциальное уравнение относительно С(х)

дифференциальное уравнение

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные

уравнение с разделяющимися переменными

и интегрируя, получаем

интегрируя уравнение

где С0 – произвольная постоянная.

4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (8) имеет вид

(9)

решение неоднородного уравнения

5. Используя начальное условие у(1) = 1, получаем

решение Коши

находим С0 = 0 и подставляем в общее решение (9). Ответ, у = 1/х.

2-й способ.

1. Ищем решение уравнения (8) в виде

у = u(x)v(x),

где u и v – неизвестные функции х.

2. Уравнение (8) принимает вид

(10)

решение Уравнения

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.

Пусть одна из функций (например, u(х)) удовлетворяет уравнению

(11)

решение задачи Коши

Тогда уравнение (10) принимает вид

(12)

решение с разделяющимися переменными

Решая уравнение (11) (с разделяющимися переменными), находим

u(х) = Ах,

где А – произвольная постоянная (А ≠ 0, чтобы не сужать множество решений).

4. Подставляем u(х) в уравнение (12) и решаем его относительно v:

произвольная постоянная

где В – произвольная постоянная.

5. Записываем общее решение уравнения (8) в виде

общее решение уравнения в виде

где С = АВ – произвольная постоянная.

6. Используя начальное условие у(1) = 1, находим С = 0.

Ответ. у = 1/х.

.

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

.

УравненияНачальные
условия
Ответы
1.ху' + у – ех= 0у(0) = 1 
 
решение Коши
2.задача Кошиу(0) = 0 
 
решение Коши
3.у' cos² x + у = tg xу(0) = 0 
 
у = e– tg x + tg x – 1
4.у' – y th x = ch² ху(0) = 0 
 
y = ch x sh x
5.задача Кошизадача Коши 
 
решение Коши
6.у' sin ху cos х = 1задача Коши 
 
y = – cos x
7.y'y tg x = cos xу(0) = 0решение Коши
8.y' – 2xy = 3х2 – 2x4у(0) = 0 
 
у = x3
9.xy' – 2y = 2x4у(1) = 0 
 
у = x4x2
10.у' + у cos x = esin xу(0) = 0 
 
у = x e – sin x

О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова. Решебник. Высшая математика. Стр. 257-262

Задача Коши на страницах:
Решение задачи Коши. Пример.
Дифференциальные уравнения I порядка. Теорема Коши.
Начальные и краевые условия. Задача Коши.